Gerak Translasi, Rotasi, dan Kesetimbangan Benda Tegar

BAB III

Gerak Translasi, Rotasi, dan Kesetimbangan Benda Tegar

• Kompetensi Dasar

3.1. Menguasai konsep gerak translasi dan rotasi

3.2. Menghitung gerak translasi dan rotasi

3.3. Menguasai konsep keseimbangan benda tegar

3.4. Menghitung keseimbangan benda tegar

• Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, diharapkan Anda dapat:

• • Menjelaskan pengertian momen gaya.
  • Menghitung momen gaya dari gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda tegar.
  • Menjelaskan pengertian momen inersia.
  • Menjelaskan pengertian momentum sudut.
  • Mengaplikasikan hukum kekekalan momentum sudut pada sistem yang berotasi.
  • Mengaplikasikan hukum II Newton untuk gerak translasi dan rotasi benda tegar.
  • Menggunakan syarat keseimbangan statis sistem partikel untuk menyelesaikan soal-soal.
  • Menggunakan syarat keseimbangan statis sistem benda tegar untuk _{menyelesaikan soal-soal.}
  • Menghitung gaya reaksi pada batang yang ditumpu.
  • _{Menentukan koordinat titik berat suatu benda.}

1. 1. Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator :

• Gerak translasi dan gerak rotasi dirumuskan secara kuantitatif
• Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus pengaruh torsi pada benda dalam kaitannya dengan gerak rotasi benda tersebut
• Dibuat analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi

Pernahkah Anda melihat permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan berputar menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Anda melihat katrol? Sebuah alat yang dapat berputar dan memberikan keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen gaya yang bekerja pada benda itu.

Gambar:

Katrol

A. Momen Gaya

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.

Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang t (baca: tau).

Gambar:

Menarik beban menggunakan katrol

t = F . d

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Gambar:

Skema permainan jungkat jungkit

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.

Momen gaya oleh F₁ adalah t₁ = + F₁ . d₁

Momen gaya oleh F₂ adalah t₂ = – F₂ . d₂

Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ t = 0

Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.

∑ t = 0

- F₂ . d₂ + F₁ . d₁ = 0

F₁ . d₁ = F₂ . d₂

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ F = 0

Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi		Rotasi
Momentum linier	p = mv	Momentum sudut*	L = I
Gaya	F = dp/dt	Torsi	 = dL/dt
Benda massa Konstan	F = m(dv/dt)	Benda momen inersia konstan*	 = I (d/dt)
Gaya tegak lurus terhadap momentum	F =  x p	Torsi tegak lurus momentum sudut	 =   L
Energi kinetik	Ek = ½ mv2	Energi kinetik	Ek = ½ I2
Daya	P = F . v	Daya	P =  . 

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Konsep	Translasi	Rotasi	Catatan
Perubahan sudut	s		s = r.
Kecepatan	v = ds/dt	 = d/dt	v = r.
Percepatan	a = dv/dt	 = d/dt	a = r.
Gaya resultan, momen	F		 = F.r
Keseimbangan	F = 0	 = 0
Percepatan konstan	v = v0 + at	 = 0 + t
	s = v0t = ½ at2	 = 0t + ½t2
	v2 = + 2as	2 = + 2
Massa, momen kelembaman	m	I	I = miri2
Hukum kedua Newton	F = ma	 = I
Usaha	W =  F ds	W =   d
Daya	P = F.v	P = I 
Energi potensial	Ep = mgy
Energi kinetik	Ek = ½ mv2	Ek = ½ I2
Impuls	 F dt	  dt
Momentum	P = mv	L = I

^Contoh

_F2

₃₀^o

_{O A}

_{B 37}^o

^F₁

Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak

OA = 4m dan OB = 8 m, gaya F₁ = 10 N, dan F₂ = 6 N.

Jawab

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol,

Untuk gaya F₁

r₁ = OB = 8 m

^{Besar momen gaya} t₁ = ^F₁ ^sin ₁. r₁

= 10 . sin 37. 8

= 10 . 0,6 . 8

= 48 N.m

Arah momen gaya t₁ searah perputaran jarum jam

Untuk gaya F₂

r₂ = OA = 4 m

^{Besar momen gaya} t₂ = ^F₂ ^sin ₂. r₂

= 6 . sin 30. 4

= 6 . 0,5 . 4

= 12 N.m

Arah momen gaya t_{2 berlawanan arah} perputaran jarum jam

Momen gaya total adalah

t = t₂ + t₂

= 48 + 12

= 60 Nm

_{Momen Kopel}

Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel disimbolkan M

_{F F F} ^-

₊

M F d

_{d d d}

^{F F} F

_{(a) (b) (c)}

Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk

gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searah

dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c).

Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah

M = M₁ + M₂ + M₃ + … + M_n

Contoh

_F4

^F₁

^P _{1m 2m 1m}

Q

F₃

F₂

_Jawab:

Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F₁ = F₃ = 5 N, dan F₂ = F₄ = 8 N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ tersebut.

Gaya F₁ dan F₃ yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+) dan besarnya:

^M ₁ = ^{F x d} = 5 x 3 = 15 N m

Gaya F₂ dan F₄ yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran jarum jam (-) dan _besarnya:

^M ₂ = ^{F x d} = 8 x 3 =  24 N m

_{Resultan momen kopel adalah:}

M = M₁ + M₂

= 15 + (  24)

=  9 N m

Tanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultan

arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

_{Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan}

Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah ^F_1x^{, F}_2x^{, F}_3x^,…,F_nx^{, yang jaraknya masing-masing terhadap} sumbu-X adalah ^y₁^{, y}₂^{, y}₃^,…,y_n ^.

^{Sedangkan komponen-}komponen gaya pada sumbu-Y adalah ^F_{1 y} ^{, F} _2y ^{, F} _3y ^{, …,F}_ny ^, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x₁, x₂, x₃,…,x_n . Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F _x yang jaraknya y_o dari sumbu-X, demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F _y yang jaraknya x_o dari sumbu-Y.

^{Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.}

x_o = =

y_o = =

Jadi koornitat titik tangkap (x_o,y_o)

_Contoh

Y

F₂=5N

F₃=7N

_X

Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.

_{-3 -1} 0 2 ³

F₁=-3N

^F₄^=-2N

Jawab

Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah:

F_y = F₁ + F₂ + F₃ + F₄

= -3 + 5 + 7 – 2 = 7 N (arah ke atas)

_{Letak titik tangkap gaya resultan adalah:}

x_o =

x_o =

x_o =

1. Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut  yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi  didefinisikan sebagai berikut.

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.

Dirumuskan sebagai berikut.

 =  F_i R_i Sin _i atau  = (  m_i R² _i ) ^. 

m_i R_i² disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.

Dirumuskan:

I =  m_i . R_i²

Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut.

Dirumuskan:

I =

maka  = I . 

 = I

Karena  = F . R dan  = I . 

maka  F . R = I . 

Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda.

a =  . R

 =

persamaan menjadi :

 F . R = I .

Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.

Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.

Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal

I = ½ M (R₁² + R₂²) I = 1/3 MR² I = MR² I = 2/5 MR² I = 2/3 MR²

Contoh:

1. Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap proses:

1. 1. sumbu AA¹,
   2. s
      A B
      1 kg 2 kg 1 kg 3 kg
      2 m 2 m 2 m
      A¹ B¹
      umbu BB¹!

Penyelesaian:

1. I = Σ m_i . R_i²

= m₁ R₁² + m₂ . R₂² + m₃ R₃² + m₄ R₄²

= 1 . 0² + 2 . 2² + 1 . 4² + 3 . 6²

= 0 + 8 + 16 + 108

I = 132 kg m²

1. I = Σ m_i R_i²

= m₁ R₁² + m₂ R₂² + m₃ R₃² + m₄ R₄²

= 1 . 4² + 2 . 2² + 1 . 0² + 3 . 2²

= 16 + 8 + 0 + 12

I = 36 kg m²

1. Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.

1. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidang kertas!

A

A’

1. Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan  terhadap poros ini ( = 4 )?
2. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA¹!

Penyelesaian:

1. I = Σ m_i R_i² = m₁ R₁² + m₂ R₂² + m₃ R₃² + m₄ R₄²

= 3 . 2² + 2 . 2² + 1 . 2² + 2 . 2²

= 12 + 8 + 4 + 8

= 32 kg m²

1. τ = I .  = 32 . 4 = 128 N.m
2. I = m₂ R₁² + m₂ R₂² + m₂ R₂² + m₃ R₃² + m₄R₄²

1. Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui

1. 1. pusat 0, O
   2. salah satu bola!

L = 1 m

Penyelesaian:

1. I = Σ m_i R_i²

I = m_A . R_A² + m_B . R_B² + 1/12 m . L²

I = 5 . (0,5)² + 5 . (0,5)² + 1/12 . 2 . 1²

I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6

I = 2,5 + 1/6

I = 5/2 + 1/6 = = 16/6

I = 8/3 kg m²

b. I = Σ m_i R_i²

I = m_A.R_A² + M_b.R_B² + 1/3 .m.l²

I = 0 + 5 . 1² + 1/3 . 2.1²

I = 5 + 2/3

I = 5 kg m²

• Uji Kompetensi I

1. Seorang tukang cat (massa 55 kg) mengatur papan homogen yang beratnya

60 N dengan kuda-kuda di B dan C seperti pada gambar. Panjang AD = 4 m,

AB = CD = 1 meter. Jarak kaleng cat (2 kg) dari A = 0,5 m. Secara perlahan

ia mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada jarak berapa meter dari C dia

dapat menggeser sebelum papan terjungkit ?

A B C D

1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C

c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.

1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg  = 3/4.

Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.

1. Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya seperti tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya.

1. Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak ¼ l dari ujung titik 0

O

-1/4 l +3/4 l

1. Empat buah benda disusun pada rangka pada sumbu koordinat XY seperti tampak pada gambar di bawah ini. M₁=M₃ =1kg, M ₂ =3 kg, dan M ₄ = 2 kg. Tentukan momen inersia sistem jika sumbu putarnya adalah (a) sumbu Y, (b) sumbu yang tegak lurus bidang XY melalui titik O.

Y

M₁

2 m

M₃

^{O 3 m} _M2

3 m

M₄

1. Tentukan momen inersia bola pejal !

• massa bola m
• volume bola V = 4/3  R³
• massa keping = dm
• volume keping = dV = r² dx

1. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F₁ = 100 N dan gaya F₂ = 200 N terhadap poros di titik _{A dan titik C, jika AD = L, AB = L/2, dan AC = 3L/4.} ^D

_C

^{B F}₂

_{A 30}^{o F1}

1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C

c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.

1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg  = 3/4.

Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.

1. 1. Menghitung Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator :

• Dinamika rotasi benda tegar dianalisis untuk berbagai kondisi
• Gerak menggelinding tanpa slip dianalisis

C. Momentum Sudut Gerak Rotasi Benda Tegar

Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut . Sehingga dapat dirumuskan :

L = I . 

Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,

L = R  P

atau L = R  mV

L = mR  V

Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.

Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.

V =  R

Sehingga L = m R v

L = m R R

L = m R² 

Arah L dam  adalah sama, maka:

L = m R² 

atau L = I 

karena  =

maka : L = m R²

L = I

Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis:

L = R  P = m (R  v)

Bila diturunkan, menjadi:

karena  = F  R

maka  =

Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total L, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir L’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat.

momentum sudut total awal = momentul sudut total akhir

L = L’

L₁ + L₂ = L₁’ + L₂’

Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.

I₁ ₁ + I₂ ₂ = I₁’ ₁’ + I₂’ ₂’

D. Energi Kinetik Rotasi

Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m₁ dan m₂ dan rotasi bergerak dengan kecepatan linier v₁ dan v₂, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah ½ m₁v₁². Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel ke 2 adalah ½ m₂v₂² ) :

E_K = ½ m₁ v₁² + ½ m₂v₂²

Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya:

E_K =  ½ m_i v_i²

Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut , kecepatan tiap partikel adalah v_i =  . R_i , di mana R_i adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.

jadi E_K =  ½ m_iv_i²

=  ½ m_i R_i² ²

= ½ ( m_i R_i²) ²

E_K = ½ I . ²

karena L = I . 

maka E_K = ½ L . 

atau E_K = ½

Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.

E_K = ½ mv² + ½ I . ²

Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:

E = E_K + E_P = konstan

½ mv² + ½ I ² + mgh = konstan

Contoh Soal

Sebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m, yang berada di puncak bidang miring, menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah kecepatan liniear pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah V =

1. dengan menggunakan hukum kekekalan energi,
2. dengan menggunakan hukum II dinamika rotasi!

Penyelesaian

Jawab:

v₁ = 0, ₁ = 0

s

h

a. Ek₁ + Ep₁ = Ek₂ + Ep₂

(½ m v₁² + ½ I ₁²) + mgh₁ = ( ½ mv₂² + ½ I ₂²) + mgh₂

0 + 0 + mgh = ½ mv² + ½ . ½ mR² ( )² + 0

gh = ½ v² + ¼. R² . v/r

gh = ¾ v²

v² = gh

v = (terbukti)

1. Hukum II dinamika rotasi

Σ F = m . a

m g . – ½ m . a = m . a

= a

a = .

v² = v_o² + 2 a s

v² = 0² + 2. . s

v² = gh

v = (terbukti)

E. Menggelinding

Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang bentuk lingkaran).

F

F

f f

Penyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu.

1. Bila gaya F berada tepat di sumbu:

- gerak translasi berlaku : F – f = m . a

- gerak rotasi berlaku : f . R = I . 

di mana ( = )

1. Bila gaya F berada di titik singgung :

- gerak translasi berlaku : F + f = m . a

- gerak rotasi berlaku : (F – f) . R = I .  ( = )

Katrol

1. Sumbu dianggap licin tanpa gesekan

Massa = m

Jari-jari = R

Momen kelembaman = I

Gerak translasi beban :

F = m . a

+ T₁ – m₁g = m₁a ………………….(i)

+ m₂g – T₂ = m₂a ………………….(ii)

Gerak rotasi katrol :

 = I . 

(T₂ – T₁) R = I ……………….(iii)

1. Pada puncak bidang miring

Gerak translasi beban :

F = m . a

+ T₁ – m₁g sin  – f = m₁a …….(i)

+ m₂g – T₂ = m₂a …………………..(ii)

Gerak rotasi katrol :

 = I . 

(T₂ – T₁) R = I ……………………(iii)

1. S
   atu ujung talinya terikat pada sumbu katrol

Gerak translasi beban :

F = m . a

mg – T = m . a ……………..(i)

Gerak rotasi katrol :

 = I . 

T . R = I . ……………..(ii)

Contoh Soal

1. 8.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri atas katrol silinder yang masanya 4 kg (dianggap silinder pejal). Masa m₁ dan m₂ masing- masing 5 kg dan 3 kg. jari- jari katrol = 50 cm. Tentukan:

a. percepatan beban,

b. tegangan tali!

Penyelesaian:

a. Tinjau benda m₁

Σ F = m₁ . a

w₁ – T₁ = m₁ . a

5 . 10 – T₁ =5 . a

T₁ = 50 – 5a

Tinjau benda m₂:

Σ F = m₂ . a

T₂ – W₂ = m₂ . a

T₂ – 3.10 = 3 . a

T₂ = 30 + 3a

Tinjau katrol

Σ τ = I . 

T₁ . R – T₂ . R = ½ m . R₂ a/R

T₁ – T₂ = ½ . 4 . 2

50 – 5a – 30 – 3a = 2a

20 = 10 . a

a = 2 m/s²

1. T₁ = 50 – 5 . 2 = 40 N

T₂ = 30 + 3 . 2 = 36 N

2.

Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri dari katrol silinder yang licin tanpa gesekan Jika m₁ = 50 kg dan m₂ = 200 kg , g = 10 m/det²

Antara balok m₁ dan bidang datar ada gaya gesek dengan μ = 0,1. massa katrol 10 kg. hitunglah:

1. percepatan sistem,
2. gaya tegang tali!

Penyelesaian:

a.

Tinjau m₁:

Σ F = m . a

T₁ – f₁ = m . a

T_i – _k . N = m₁ . a

T_i – 0,1 . m₁ . g = m₁ . a

T₁ – 0,1 50 . 10 = 50 . a

T₁ = 50 + 50a

Tinjau m₂:

Σ F = m . a

w₂ – T₂ = m₂ . a

m₂ . g – T₂ = m₂ . a

200 . 10 – T₂ =200 . a

T₂ = 2000 – 200 . a

Tinjau katrol:

Σ τ = I . 

T₂ . R – T₁ . R = ½ m . r² . a/R

T₂ – T₁ = ½ m . a

2000 – 200a – 50 – 50 a = ½ . 10 . a

1950 = 255 a

a = = 7,65 m/s²

b. T₁ = 50 + 50 . 7,65 = 432,5 N

T₂ = 2000 – 200 . 7,65 = 470 N

1. Dua buah benda yang massanya m₁ dan m₂ dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah katrol bermassa M dan berjari-jari R seperti ditunjukkan pada gambar. Permukaan meja licin. Tentukan percepatan masing- masing benda bila:

1. katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol
2. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali
3. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali!

Penyelesaian:

1. katrol licin (_k = 0), T₁ = T₂ = T

Tinjau m₁ : Σ F = m . a

T = m₁ . a

T = 3 . a

Tinjau m₂ : Σ F = m . a

w₂ – T = m₂ . a

m₂ . g – T = m₂ . a

5 . 10 – T = 5 . a

T = 50 – 5a

1. • T = T

3a = 50 – 5a

3a + 5a = 50

8a = 50

a = = 6,25 ₂

1. katrol kasar

Katrol :

Σ τ = I . 

T₂ . R – T₁ . R = ½ m_k . R₂ . a/r

50 – 5a – 3a = ½ . 1 . a

50 = ½ a + 8a = 8,5 a

a = 50/8,5 = 5,88 ₂

1. 1. Bidang miring dengan sudut kemiringan  = 30º. Koefisien gesek 0,2. Ujung bidang miring diperlengkapi katrol dengan massa 600 gram. Jari- jari 10 cm (dianggal silinder pejal). Ujung tali di atas bidang miring diberi beban 4 kg. Ujung tali yang tergantung vertikal diberi beban dengan massa 10 kg. Tentukanlah percepatan dan tegangan tali sistem tersebut!

Penyelesaian:

Tinjau m₁ Σ F₁ = m₁ . a

T₁ – fk – w₁ sin 30 = m₁ . a

T₁ – _k . N – m₁ g sin 30 = m₁ . a

T₁ – _k . m₁ . g . cos 30 – m₁ . g sin 30 = m₁ . a

T₁ – 0,2 . 4 . 10 . ½ – 4 . 10 . ½ = 4 . a

T₁ – 4 – 20 = 4a

T₁ = 26,928 + 4a

Tinjau m₂ Σ F = m . a

w₂ – T₂ = m₂ . a

w₂ . g – T₂ = m₂ . a

10 .10 – T₂ = 10 .a

T₂ = 100 – 10a

Tinjau katrol Σ τ = I . 

T₂ . R – T₁ . R = ½ m . R² . a/R

100 – 10a – 26,928 – 4a = ½ . 0,6 . a

100 – 26,928 = 0,3a + 10a + 4a

73,072 = 14,3 a

a = 5,1 m/s²

1. 1. • T₁ = 26,928 + 4 . 5,1

T₁ = 47,328 N

T₂ = 100 – 10 . 5,1

= 49 N

1. 1. Balok A ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar. Koefisien gesekan antara balok A dengan lantai = 0,5 . Jika massa A = m, massa B = 3m. Massa tali dan katrol diabaikan dan percepatan gravitasi g.

Tentukan:

1. gaya tarik oleh tali
2. percepatan B

Penyelesaian:

Waktu sama, jarak yang ditempuh A adalah 2x jarak tempuh B berarti

s_A = 2 s_B atau a_A = 2 a_B

Tinjau benda A

w_B – 2T = m_B . a_B

3mg – 2T = 3m a_B

a_B =

Tinjau benda B

T – f = m_A a_A

T – 0,5 N_B = m . a_A

T – 0,5 m g = m a_A

a_A =

1. gaya tarik oleh tali

Substitusi

a_A = 2 a_B

= 2 ()

3 T m – 1,5 m² g = 6 m² g – 4 T m

: m

T =

1. percepatan B

a_B =

=

= =

a_B = g

1. 1. Kesetimbangan Benda Tegar

Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen gaya sama dengan nol.

Kesetimbangan biasa terjadi pada :

1. Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lain-lain.
2. Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak meteor di ruang hampa, gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti atom, dan lain-lain.

Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar.

Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua:

1. Kesetimbangan partikel
2. Kesetimbangan benda

1. Kesetimbangan Partikel

Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi (tidak mengalami gerak rotasi).

Syarat kesetimbangan partikel F = 0  F_x = 0 (sumbu X)

F_y = 0 (sumbu Y)

1. Kesetimbangan Benda

Syarat kesetimbangan benda: F_x = 0, F_y = 0,  = 0

Momen gaya merupakan besaran vektor yang nilainya sama dengan hasil kali antara gaya dengan jarak dari titik poros arah tegak lurus garis kerja gaya.

Dirumuskan:  = F . d

Putaran momen gaya yang searah dengan putaran jarum jam disebut momen gaya positif, sedang yang berlawanan putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Momen kopel adalah momen gaya yang diakibatkan pasangan dua gaya yang sama besarnya dan arahnya berlawanan tetapi tidak segaris kerja.

Benda yang dikenai momen kopel akan bergerak rotasi terus menerus.

Contoh Soal

1. Sebuah roda mamiliki massa 13 kg dan jari – jari 1 m. bertumpu dilantai dan bersandar pada anak tangga yang tingginya 0,6 m dari lantai seperti pada gambar. Tentukan gaya mendatar F minimum untuk mengungkit roda jika g = 10 m/s²!

Diketahui : m = 13 kg g = 10 m/s²

R = 1m

h = 0,6 m

ditanyakan : F min…..?

jawab : W = m .g

= 13.10

= 130 N

l₁ = R- h

= 1 – 0,6

= 0,4

l₂ = (R² – l₁²)

= (1² – 0,4²)

= (1 – 0,16)

= 0,84

 = 0

₁ + ₂ = 0

F . l₁ – W . l₂ = 0

F . 0,4 – 130 . 0,84 = 0

F = (1300,84)/0,4

= 3250,84 N

1. Suatu batang pemikul AB panjangnya 90 cm (berat diabaikan) dipakai untuk memikul beban A dan B masing – masing beratnya 48 N dan 42 N. supaya batang setimbang, orang harus memikul (menumpu) di C. maka tentukan jarak AC!

Diketahui : batang pemikul AB = 90 cm

F_A = 48 N

F_B = 48 N

Ditanyakan : Jarak AC…?

Jawaban : misal jarak AC adalah x maka BC adalah 90 – x

 = 0

_A + _B = 0

-W_A . l_A + W_B . l_B = 0

-48x + 42 (90 – x) = 0

-48x + 3780 – 42x = 0

-90x = 3780

x = 3780/90 = 42 cm

1. Titik Berat

Titik berat adalah titik pusat atau titik tangkap gaya berat dari suatu benda atau sistem benda. Titik berat atau pusat berat benda berfungsi sebagai titik yang terhadapnya gaya-gaya berat bekerja pada semua partikel benda itu sehingga akan menghasilkan resultan momen gaya nol. Titik berat merupakan titik di mana gaya berat bekerja secara efektif.

Titik berat menurut bentuk benda dibedakan menjadi 3 antara lain:

1. 1. Benda berbentuk garis/kurva, contoh : kabel, lidi, benang, sedotan, dan lain-lain.
   2. Benda berbentuk bidang/luasan, contoh : kertas, karton, triplek, kaca, penggaris, dan lain-lain.
   3. Benda berbentuk bangunan/ruang, contoh : kubus, balok, bola, kerucut, tabung, dan lain-lain

1. Benda berbentuk partikel massa

Apabila sistem benda terdiri dari beberapa benda partikel titik digabung menjadi satu, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo = =

Jadi zo (Xo,Yo)

Yo = =

1. Benda berbentuk garis/kurva

Daftar titik beberapa benda berbentuk garis dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari beberapa benda garis digabung menjadi satu, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo = =

Jadi zo (Xo,Yo)

Yo = =

1. Benda berbentuk bidang/luasan

Daftar titik berat berbagai macam bidang beraturan dan bidang selimut benda dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari bidang gabungan, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Xo = =

Jadi zo (Xo,Yo)

Yo = =

1. Benda berbentuk volume/ruang (homogen)

Daftar titik berat berbagai macam benda ruang beraturan dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari bidang gabungan benda, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:

Bila terbuat dari bahan-bahan yang sama (homogen)

Xo = =

Jadi zo (Xo,Yo)

Yo = =

1. Bila terbuat dari bahan-bahan yang berbeda (heterogen)

Xo = =

Jadi zo (Xo,Yo)

Yo = = ]

keterangan : W = mg =  . V . g

karena S =  . g  W = S . V

1. 1. • = massa jenis (kg/m³)

S = berat jenis (N/m³)

Tabel titik berat bentuk teratur linier

Nama benda	Gambar benda	letak titik berat	keterangan
1. Garis lurus		x0 = l	z = titik tengah garis
2. Busur lingkaran		R = jari-jari lingkaran
3. Busur setengah lingkaran

Tabel titik berat benda teratur berbentuk luas bidang homogen

Nama benda	Gambar benda	Letak titik berat	Keterangan
1. Bidang segitiga		y0 = t	t = tinggi z = perpotongan garis-garis berat AD & CF
2.Jajaran genjang, Belah ketupat, Bujur sangkar Persegi panjang		y0 = t	t = tinggi z = perpotongan diagonal AC dan BD
3. Bidang juring lingkaran		R = jari-jari lingkaran
4.Bidang setengah lingkaran		R = jari-jari lingkaran

Tabel titik berat benda teratur berbentuk bidang ruang homogen

Nama benda	Gambar benda	Letak titik berat	Keterangan
1. Bidang kulit prisma		z pada titik tengah garis z1z2 y0 = l	z1 = titik berat bidang alas z2 = titik berat bidang atas l = panjang sisi tegak.
2. Bidang kulit silinder. ( tanpa tutup )		y0 = t A = 2  R.t	t = tinggi silinder R = jari-jari lingkaran alas A = luas kulit silinder
3. Bidang Kulit limas		T’z = T’ T	T’T = garis tinggi ruang
4. Bidang kulit kerucut		zT’ = T T’	T T’ = tinggi kerucut T’ = pusat lingkaran alas
5. Bidang kulit setengah bola.		y0 = R	R = jari-jari

Tabel titik berat benda teratur berbentuk ruang, pejal homogen

Nama benda	Gambar benda	Letak titik berat	Keterangan
1. Prisma beraturan.		z pada titik tengah garis z1z2 y0 = l V = luas alas kali tinggi	z1 = titik berat bidang alas z2 = titik berat bidang atas l = panjang sisi tegak V = volume prisma
2. Silinder Pejal		y0 = t V =  R2 t	t = tinggi silinder R = jari-jari lingkaran alas
3. Limas pejal beraturan		y0 = T T’ = t V = luas alas x tinggi 3	T T’ = t = tinggi limas beraturan
4. Kerucut pejal		y0 = t V =  R2 t	t = tinggi kerucut R = jari-jari lingkaran alas
5. Setengah bola pejal		y0 = R	R = jari-jari bola.

1. Macam-macam Kesetimbangan

Tiga macam keseimbangan benda seperti tampak

_{pada gambar di bawah ini.}

_(a) (b) ^(c)

Gambar (a) adalah contoh keseimbangan labil, gambar (b)

merupakan contoh keseimbangan stabil, dan gambar (c) adalah contoh keseimbangan netral.

Dibedakan menjadi 3:

1. 1. Kesetimbangan labil/goyah

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan/dialami benda dihentikan, maka benda tidak kembali ke posisi keseimbangan semula, tetapi bahkan memperbesar gangguan tersebut.

Contoh: Keseimbangan pada suatu benda dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menurunkan titik beratnya (energi potensialnya).

1. 1. Kesetimbangan stabil/mantap

Adalah keseimbangan suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan pada benda dihentikan, benda akan kembali ke posisi keseimbangan semula.

Contoh: Keseimbangan stabil dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menaikkan titik beratnya (energi potensialnya).

1. 1. Kesetimbangan indeferen/netral

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan tidak mengubah posisi benda.

Contoh : Keseimbangan indiferen dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda dimana jika gangguan yang dialaminya tidak menyebabkan perubahan titik beratnya (energi potensialnya).

• Contoh soal

1. Tentukan koordinat titik berat susunan empat buah kawat berbentuk bangun seperti gambar di bawah ini.

6

4

2

2 3 4 5

Jawab

Dari gambar tersebut, panjang kawat, letak absis dan ordinat titik beratnya adalah:

• • kawat pertama:

L₁ = 4, x₁ = 2, dan y₁ = 4.

• • kawat kedua:

L₂ = 4, x₂ = 2, dan y₂ = 2.

• • kawat ketiga:

L₃ = 4, x₃ = 4, dan y₃ = 4.

• • kawat keempat:

L₄ = 2, x₄ = 4, dan y₄ = 2.

Xo = = = =

Yo = = = =

Jadi zo (Xo,Yo) = ( , )

• Uji Kompetensi II

1. Suatu batang AB yang homogen, massanya 30 kg, panjangnya 5 meter, menumpu pada lantai di A dan pada tembok vertikal di B. Jarak dari B ke lantai 3 meter; batang AB menyilang tegak Lurus garis potong antara lantai dan tembok vertikal. Berapa besarnya gaya K mendatar yang harus di berikan pada batang di A supaya batang tetap seimbang ? dan Hitung juga gaya tekan pada A dan B.

2 benda A dan B masing–masing bermassa 5 kg dan 2 kg dihubungkan dengan sebuah tali dengan sebuah katrol bermassa 2 kg dan berjari-jari 10 cm . Hitung percepatan benda dan tegangan tali!

Diketahui m₁ = 4 kg, M = 1 kg, r = 1 cm, m₂ = 2 kg. Hitung percepatan benda dan tegangan tali!

1. Suatu sistem katrol digunakan untuk mempertahankan beban 49 N

seperti pada gambar. Bila massa katrol diabaikan dan sistem dalam

keadaan setimbang, tentukan besarnya tegangan tali pada kabel

paling atas (T) !

1. Sebuah batang AB massanya 10 kg, panjangnya 6 meter. Ujung B diikat dengan tali dan ujung tali yang lain diikat di C pada sebuah tembok vertikal. Ujung A dari batang bertumpu pada tembok itu juga. Dalam sikap seimbang ini tali membuat sudut 30⁰ dengan tembok. Tentukan :

a. Gaya tegangan tali.

b. Tekanan tembok di A

c. Sudut yang dibuat batang dengan tembok.

1. Sebuah batang dengan berat 50 N seperti tampak pada gambar di bawah ini. Berapa besar tegangan dalam kabel pendukungnya dan berapa komponen dari gaya yang dikerjakan oleh engsel pada batang.

1. Susunan benda pejal homogen

Yang terdiri dari silinder

berongga dan setengah bola

terletak di atas lantai seperti

^{tampak pada gambar.}

Tentukan jarak titik berat

susunan benda tersebut dari lantai.

1. Sebuah bangun berupa luasan memiliki bentuk dan ukuran seperti _{tampak pada gambar. Tentukan koordinat titik beratnya.}

Y

₈

₄

_X

₀ ⁴ ₈

1. Sebuah bidang homogen tampak seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan letak titik beratnya terhadap sisi alasnya.

1. Sistem dalam gambar di bawah ini berada dalam keadaan seimbang. Jika berat balok W₁ = 400 N dan koefisien gesek statik antara balok W₁ dengan meja adalah 0,4. Tentukan berat balok W₂,

dan gaya tegang tali T₁ dan T₂, dan T₃.

₆₀^o

_T3

 ^W₁

 ^W2 

^{Sumber :  http://pristiadiutomo.wordpress.com/rotasi-dan-kesetimbangan-benda-tegar/}