Persamaan Linier

• 1. Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 1
• 2. Sistem Persamaan Linear (SPL) Sub Pokok Bahasan – Pendahuluan – Solusi SPL dengan OBE – Solusi SPL dengan Invers matriks dan Aturan Crammer – SPL Homogen Beberapa Aplikasi Sistem Persamaan Linear Rangkaian listrik Jaringan Komputer Model Ekonomi dan lain-lain. 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 2
• 3. 1. PendahuluanPersamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri.Contoh : Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (x) dan 2 PC (y) maka ia harus membayar $ 5000, sedangkan jika membeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar $ 10000. Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL x + 2y = 5000 3x + y = 10000 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 3
• 4. Bentuk umum sistem persamaan linear a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2 M M M M a m1 x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = bmDapat ditulis dalam bentuk : ⎛ a11 a11 L a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a11 a11 L a 2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎜ M M O M ⎟ ⎜M⎟ = ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜x ⎟ L amn ⎠ ⎝ n ⎠ ⎜b ⎟ ⎝ m1 am1 ⎝ m⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 4
• 5. Atau AX = Bdimana – A dinamakan matriks koefisien – X dinamakan matriks peubah – B dinamakan matriks konstantaContoh : Perhatikan bahwa SPL x + 2y = 5000 3x + y = 10000 dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks ⎛1 2⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 5000 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎜ 10000 ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜3 1⎟ ⎜ y ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 5
• 6. Solusi SPL Himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut.Perhatikan SPL : x + 2y = 5000 3x + y = 10000Maka {x = 3000, y =1000 } merupakan solusi SPL tersebut {x = 1000, y =3000 } merupakan bukan solusi SPL ituSuatu SPL, terkait dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan : – SPL mempunyai solusi tunggal – SPL mempunyai solusi tak hingga banyak – SPL tidak mempunyai solusi 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 6
• 7. Ilustrasi Solusi SPL dengan garis pada kartesius y y = 2x - 2 y=x (2, 2) merupakan titik potong dua garis tersebut Tidak titik potong yang lain 2 selain titik tersebut (2, 2) x 12Artinya : SPL 2x – y = 2 x–y=0Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 7
• 8. Perhatikan SPL x –y =0 2x – 2y = 2Jika digambar dalam kartesius y y=x y=x–1 1 xTerlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajarTak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis ituArtinya SPL diatas TIDAK mempunyai solusi 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 8
• 9. Perhatikan SPL x –y =0 2x – 2y = 0 Jika kedua ruas pada persamaan kedua dikalikan ½ Diperoleh persamaan yang sama dengan pers. pertamaJika digambar dalam kartesius y 2x – 2y= 00 x y = xTerlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpitTitik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebutArtinya SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 9
• 10. Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE• Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar• Lakukan OBE sampai menjadi esilon baris tereduksiContoh :Tentukan solusi dari SPL 3x – y = 5 x + 3y = 5Jawab :Martiks yang diperbesar dari SPL ⎛ 3 −1 5 ⎞ ⎛1 3 5⎞ ⎛1 3 5⎞ ⎛1 3 5⎞ ⎛1 0 2⎞ ⎟ ~ ⎜ ⎜ ⎟~ ⎜ ⎟~ ⎜ ⎟ ~⎜ ⎜ ⎜ 1 3 5⎟ ⎜3 −1 5⎟ 0 −10 −10⎟ ⎜0 1 ⎟ ⎜0 1 1⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 10
• 11. Tulis kembali matriks yang diperbesar hasil OBE menjadi perkalian matriks ⎛1 0 ⎞ ⎛x⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ 0 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ y⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Solusi SPL tersebut adalah x = 2 dan y = 1Contoh : Tentukan solusi (jika ada) dari SPL berikut : a. a + c = 4 a – b = –1 2b + c = 7 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 11
• 12. b. a + c = 4 a – b = –1 –a + b =1 c. a + c = 4 a – b = –1 –a + b =2Jawab : a. ⎛1 0 1 4⎞ ⎛1 0 0 1⎞ ⎜ ⎜1 −1 0 ⎟ − 1⎟ ∼ ⎜ ⎜0 1 0 ⎟ 2⎟ ⎜0 2 1 ⎜0 0 1 3⎟ ⎝ 7⎟ ⎠ ⎝ ⎠ Terlihat bahwa solusi SPL adalah a = 1, b = 2, dan c =3 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 12
• 13. b. ⎛1 0 1 4⎞ ⎛1 0 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 0 − 1⎟ ∼ ⎜0 1 1 5⎟ ⎜ −1 1 0 1⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 0 0⎟ ⎠ Jika dikembalikan kedalam bentuk perkalian matriks diperoleh : ⎛1 0 1⎞ ⎛ a⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 1 1⎟ ⎜b ⎟ = ⎜ 5 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ c ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ini memberikan a + c = 1 dan b + c =5. Dengan memilih c = t, dimana t adalah parameter. Maka solusi SPL tersebut adalah : ⎛ a ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b ⎟ = ⎜ − 1⎟ t + ⎜ 5 ⎟ , dimana t adalah parameter ⎜c⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 13
• 14. c. ⎛1 0 1 4⎞ ⎛1 0 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 0 − 1⎟ ∼ ⎜0 1 1 5⎟ ⎜−1 1 0 2⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 0 1⎟ ⎠ Terlihat bahwa ada baris nol pada matriks koefisien tetapi matriks konstanta pada baris ke-3 sama dengan 1 (tak nol) ⎛1 0 1⎞ ⎛ a⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 1 1⎟ ⎜ b ⎟ = ⎜ 5 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ c ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dari baris ke-3 diperoleh hubungan bahwa 0.a + 0.b = 1. Tak ada nilai a dan b yang memenuhi kesamaan ini. Jadi, SPL tersebut tidak memiliki solusi. 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 14
• 15. Contoh : Diketahui SPL : x + 2y – 3z = 4 3x – y + 5z = 2 4x + y + (a2 – 14) z = a+2 Tentukan a sehingga SPL : a. Mempunyai solusi tunggal b. Tidak mempunyai solusi c. Solusi yang tidak terhingga 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 15
• 16. Jawab: Matrik diperbesar dari SPL adalah ⎛1 2 -3 4 ⎞ ⎛1 2 -3 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3 −1 5 2 ⎟~ ⎜0 − 7 14 − 10 ⎟ ⎜ 4 1 a 2 - 14 a + 2 ⎟ ⎜ 0 − 7 a 2 - 2 a − 14 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 -3 4 ⎞ ⎜ ⎟ ~ ⎜0 − 7 14 − 10 ⎟ ⎜ 0 0 a 2 - 16 a − 4 ⎟ ⎝ ⎠ a. Agar SPL mempunyai solusi tunggal: a2 – 16 ≠ 0 sehingga a ≠ ± 4 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 16
• 17. ⎛1 2 -3 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 − 7 14 − 10 ⎟ ⎜ 0 0 a 2 - 16 a − 4 ⎟ ⎝ ⎠b. Perhatikan baris ketiga 0x + 0y + (a2 – 16a) z = a – 4 SPL tidak mempunyai solusi saat a2 – 16 = 0 dan a– 4 ≠ 0 Sehingga a = ± 4 dan a ≠ 4. Jadi , a = – 4.c. SPL mempunyai solusi tak hingga banyak a2 – 16 = 0 dan a–4=0 Jadi , a = 407/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 17
• 18. Solusi SPL dengan Matriks Invers ⎛ a11 a11 L a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ b1 ⎞ ⎜ a11 a11 L a 2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M ⎟ = ⎜ 2⎟ ⎜ M b M O M ⎟ ⎜M⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a a n1 L ann ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ n1 ⎠ ⎝ n⎠ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠Atau AX = BKalikan setiap ruas di atas dengan A–1 A–1 A X = A–1 Bdiperoleh : X = A–1 BIngat bahwa suatu matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika Det (A) ≠ 0. 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 18
• 19. Contoh : Tentukan solusi dari SPL berikut : a + c = 4 a – b = –1 2b + c = 7Jawab : Perhatikan bahwa 1 0 1 A = 1 -1 0 = 1 ≠ 0 0 2 1 Jadi A mempunyai Invers ⎛ -1 2 1 ⎞ −1 ⎜ ⎟ A = ⎜ -1 1 1 ⎟ ⎜ 2 - 2 - 1⎟ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 19
• 20. sehingga X = A–1 B berbentuk : ⎛a⎞ ⎛ -1 2 1 ⎞ ⎛4⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b ⎟ = ⎜ -1 1 1 ⎟ ⎜ - 1⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎜c⎟ ⎜ 2 - 2 - 1⎟ ⎜7⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Jadi, Solusi SPL tersebut adalah ⎛a⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜b⎟ = ⎜ 2⎟ ⎜c⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 20
• 21. Solusi SPL dengan aturan Cramer Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu : ⎛ a11 a11 L a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a11 a11 L a 2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎜ M M O M ⎟ ⎜ M⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ M ⎜a ⎜ ⎟ ⎝ n1 a n1 L ann ⎟⎠ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ Jika determinan A tidak sama dengan nol maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah ke-i, xi)Langkah-langkah aturan cramer adalah :• Hitung determinan A• Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B. Contoh : ⎛ a11 b1 L a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜a b2 L a2n ⎟ A2 = ⎜ 11 M M O M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a L a nn ⎟ ⎝ n1 bn ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 21
• 22. • Hitung |Ai|• Solusi SPL untuk peubah xi adalah det( Ai ) xi = det( A)Contoh : Tentukan solusi b dari SPL berikut : a + c = 4 a – b = –1 2b + c = 7 Jawab : Perhatikan bahwa 1 0 1 A = 1 -1 0 = 1 0 2 1 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 22
• 23. Maka det ( Ab ) b = det ( A ) 1 4 1 1 -1 0 0 7 1 = 1 -1 0 1 0 1 -1 =1 + (-4) +1 7 1 0 1 0 7 = 1 ( - 1 - 0 ) + (-4) ( 1 - 0 ) + 1 ( 7 - 0 ) = - 1 + (-4) + 7 = 2Jadi, Solusi peubah b yang memenuhi SPL adalah b = 2 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 23
• 24. Tentukan solusi SPL untuk peubah a ? det ( Aa ) a= det ( A ) 4 0 1 -1 -1 0 7 2 1 = 1 -1 0 -1 -1 = 4 + 0 +1 2 1 7 2 = 4 ( -1- 0 ) +1( - 2 - (-7)) = -4 + 0 + 5 = 1 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 24
• 25. Sistem Persamaan Linear Homogen Bentuk umum a11x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a21x1 + a22 x2 + L + a2n xn = 0 M M M M am1x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0• SPL homogen merupakan SPL yang konsisten, selalu mempunyai solusi.• Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah {x1 = x 2 = K = x n = 0}• Jika tidak demikian, SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak. (biasanya ditulis dalam bentuk parameter) 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 25
• 26. Contoh :Tentukan solusi SPL homogen berikut 2p + q – 2r – 2s = 0 p – q + 2r – s = 0 –p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0SPL dapat ditulis dalam bentuk ⎛ 2 1 -2 -2 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 -1 2 -1 0 ⎟ ⎜ -1 2 -4 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 3 0 0 -3 0 ⎟ ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 26
• 27. dengan melakukan OBE diperoleh : ⎛ 1 0 0 -1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 -2 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0⎟ ⎠Maka solusi SPL homogen adalah : p = a, q = 2b , s = a, dan r = b, dimana a, b merupakan parameter. 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 27
• 28. Contoh : Diketahui SPL ⎛ -b 0 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1- b 1 ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ 0⎟ ⎜ 0 1 1- b ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a. Tentukan b agar SPL memiliki solusi tak hingga banyak b. Tuliskan solusi SPL tersebutJawab : Solusi suatu SPL homogen adalah tak tunggal jika det(A) = 0. 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 28
• 29. −b 0 0 0 1− b 1 =0 0 1 1− b 1− b 1⇔ (− b ) =0 1 1− b⇔ (–b) ((1 – b)(1 – b)) – 1 = 0 (–b) (b2 – 2b + 1 – 1) =0 (–b) (b2 – 2b) =0 b = 0 atau b = 2Solusi SPL tak hingga banyak saat b = 0 atau b = 207/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 29
• 30. • Saat b = 0 ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜0⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜0⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dengan OBE maka ⎛ 0 0 0⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 1⎟~⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ = ⎠ Misalkan p,q adalah parameter Riil, maka ⎛ x ⎞ ⎛ p ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ − q ⎟ = ⎜ 0 ⎟ p + ⎜ -1 ⎟ q ⎜ z ⎟ ⎜ q ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 30
• 31. • Saat b = 2 ⎛ − 2 0 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1 ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ 0⎟ ⎜ 0 1 − 1⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dengan OBE maka ~ ⎛− 2 0 0 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1 ⎟ ~ ⎜ 0 −1 1 ⎟ ~ ⎜ 0 1 − 1⎟ ~ ⎜ 0 1 − 1⎟ ⎜ 0 ⎜ 0 1 − 1⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ 1 − 1⎟ ⎠ ⎜ 0 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Misalkan q adalah parameter Riil, maka ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ q ⎟ = ⎜ 1 ⎟q ⎜ z ⎟ ⎜ q⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 31
• 32. Contoh 9 : Perhatikan ilustrasi segitiga berikut : γ a b α β c Tunjukan bahwa : a2 = b2 + c2 – 2bc cosα 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 32
• 33. Jawab : Dari gambar tersebut diketahui bahwa : c cosβ + b cosγ = a c cosα + a cosγ = b b cosα + a cosβ = c atau ⎛ 0 c b ⎞ ⎛ cos α ⎞ ⎛ a⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ c 0 a ⎟ ⎜ cos β ⎟ = ⎜ b⎟ ⎜ b a 0 ⎟ ⎜ cos γ ⎟ ⎜ c⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 33
• 34. Perhatikan bahwa : ⎛0 c b⎞ ⎜ ⎟ 1+ 2 c a 1+ 3 c 0 det⎜ c 0 a ⎟ = 0 + c (− 1) + b (− 1) ⎜b a 0⎟ b 0 b a ⎝ ⎠ = −c (ab ) + b (ac ) = 2abcDengan aturan Crammer diperoleh bahwa : a c b b 0 a 1 ⎛ b a 3+ 2 a b ⎞ ⎜ c (− 1)1+ 2 + 0 + a (− 1) c a 0 cos α = = ⎟ ⎜ 2abc ⎝ c 0 b a ⎟ 2abc ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 34
• 35. ac 2 − a 3 + a 2 b 2 cos α = 2abc c2 − a2 + b2 = 2bcJadi, terbukt bahwa : a2 = b2 + c2 – bc cosα07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 35
• 36. Latihan Bab 31. Tentukan solusi SPL berikut : 2a − 8b = 12 3a − 6b = 9 − a + 2b = −42. Tentukan solusi SPL : 2p – 2q – r + 3s = 4 p – q + 2s = 1 –2p +2q – 4s = –23. Tentukan solusi SPL homogen berikut : p − 5q − 4 r − 7 t = 0 2 p + 10q − 7r + s − 7t = 0 r + s + 7t = 0 − 2 p − 10q + 8r + s + 18t = 0 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 36
• 37. 4. Diketahui SPL AX = B ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 - 1 0 ⎟, X = ⎜ x2 ⎟ dan B = ⎜ −1⎟ ⎜ 0 2 1⎟ ⎜x ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ Tentukan solusi SPL di atas dengan menggunakan : – operasi baris elementer (OBE ) – Invers matrik – Aturan Cramer5. Diketahui ⎡ 3 1⎤ ⎡1 4 ⎤ ⎡ 2 − 2 ⎤ ⎢− 1 2⎥ X − X ⎢ 2 0⎥ = ⎢5 4 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡x x ⎤ Tentukan X = ⎢ 1 2⎥ yang memenuhi. ⎣ x3 x4 ⎦ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 37
• 38. 6. SPL homogen (dengan peubah p, q, dan r) p + 2q + r = 0 q + 2r = 0 k 2 p + (k + 1) q + r = 0 Tentukan nilai k sehingga SPL punya solusi tunggal7. Misalkan ⎡1 3⎤ B=⎢ ⎣5 3⎥ ⎦ Tentukan vektor tak nol u = ⎛ x ⎞ sehingga Bu = 6u ⎜ ⎟ ⎜y⎟ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 38 

Sumber : http://www.slideshare.net/dejesus1990/21377253-babiiisistempersamaanlinear